Aljabar

Asal Usul Aljabar

Asal mula Aljabar dapat di telusuri berasal dari Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem matematika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan system ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dalam menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat dan persamaan linear tak tentu. Sebaliknya bangsa Mesir dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta China dalam millennium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seprerti ini, Misalnya seperti yang disebutkan dalam "the Rind Mathematical Papyrus", " Sulba Sutras", "Eucilid's Elements" dan "The Nine Chapters on the Mathematical Art". Hasil bangsa Yunani dalam geometri yang tertulis dalam kitab elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasikan formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu kedalam system yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir deduksi.

Diophantus (± 75 AD) tahun kelahirannya tidak jelas, tetapi dibesarkan di Alexandria. Di antara karya-karyanya terdapat judul-judul Arithmetica, Tentang Bilangan, Poligon dan Porisms. Dalam buku ini terdapat berbagai jenis soal yang diselesaikan dengan persamaan derajat satu, derajat dua, dan derajat tiga. Juga terdapat soal dengan persamaan dengan penyelesaian tak tertentu pada derajat dua atau lebih dari dua atau tiga peubah. Soal-soal aljabar dengan jawaban tak tertentu dan jawabannya hanya bilangan rasional dikenal sebagai soal-soal Diophantin.
Walaupun soal-soal seperti itu sudah ada sebelumnya, tetapi diduga Diophantuslah ahli pertama yang menyelesaikannya dengan notasi-notasi Aljabar. Notasi-notasi yang diberikan bersifat sebagai singkatan dengan tulisan cepat. Maka aljabar yang diciptakan oleh Diophantus disebut aljabar sinkopasi atau aljabar singkatan.

Aljabar hindu adalah aljabar sinkopasi atau aljabar dengan singkatan-singkatan pengerjaan. Penjumlahan dilakukan menurut jukstaposisi. Pengurangan dengan bilangan diberi tanda titik di atasnya. Brahmagupta ± abad ke-7 menulis karya matematika dan astronomi. Salah satu karyanya ialah Brahma-sphuta-siddhan-dhantadi tulis kira-kira pada tahun 628. Buku itu telah diterjemahkan ke dalam bahasa inggris pada tahun 1817 oleh H.T. Colebrooke. Ia menulis singkatan dari yang tak diketahui (perubah) dengan ya (javattavat), dan singkatan dari bilangan dengan (rupa). Jika terdapat perubah lain diambil singkatan dari warna, misalnya ka (kalaka = hitam). Misalnya untuk menulis 4x + 3y – 2 ialah ya 4 ka 3 ra 2. Persamaan kuadrat diselesaikan dengan metode kuadrat sempurna, dan metode itu disebut juga metode Hindu. Dalam buku karya Bhaskara terdapat kesamaan √(a±√b) =√(((a+√(a^2-b)))/2±((a-√(a^2-b)))/2)

Aryabhata dan Brahmagupta menyelesaikan persamaan tak tertentu ax + by = c, untuk bilangan-bilangan bulat. Persamaan kuadrat ditulis dengan bentuk xy = ax + by + c. Bhaskara menulis persamaan kuadrat dengan bentuk y2 = ax2 + 1 a bilangan bulat tidak bilangan kuadrat. Persamaan ini diselesaikan Lagragne pada 1766 – 1769.
Salah seorang dari dinasti Abbasiah ialah khalifah Al-Mansyur (754 – 775). Pada masa khalifah ini karya-karya dari Brahmagupta di bawa dari India ke Bagdad kira-kira tahun 766 dan diterjemahkan ke dalam bahasa Arab. Dari karya itulah angka Hindu masuk kedalam matematika Arab. Khalifah AL-Mamun memerintah pada tahun 809-833. Ia adalah seorang ahli perbintangan. Banyak ahli-ahli pengetahuan pada masa itu menulis matematika. Salah seorang diantaranya yang terkenal ialah Musa Al-Khowarizmi. Ia menulis buku aljabar dan buku tentang angka-angka hindu.
Istilah "aljabar" berasal dari kata Arab "al-jabr" yang berasal dari kitab "Al-Kitab aj-jabr wa al-Muqabala" (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing") yang ditulis oleh matematikawan Persia Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi. Kata "Al-Jabr" sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di zaman Hllenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai "Bapak Aljabr", walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan, tetapi ilmuwan yang bernama R Rashed dan Angela Armstrong dalam karyanya bertajuk The Development of Arabic Mathematics, menegaskan bahwa Aljabar karya Al-Khawarizmi memiliki perbedaan yang signifikan dibanding karya Diophantus, yang kerap disebut-sebut sebagai penemu Aljabar. Dalam pandangan ilmuwan itu, karya Khawarizmi jauh lebih baik di banding karya Diophantus.

Al-Khawarizmi yang pertama kali memperkenalkan aljabar dalam suatu bentuk dasar yang dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Sedangkan konsep aljabar Diophantus lebih cenderung menggunakan aljabar sebagai alat bantu untuk aplikasi teori bilangan. Para sajarawan meyakini bahwa karya al-Khawarizmi merupakan buku pertama dalam sejarah di mana istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin ilmu. Kondisi ini dipertegas dalam pembukuan, formulasi dan kosakata yang secara teknis merupakan suatu kosakata baru.
Ilmu pengetahuan aljabar sendiri sebenarnya merupakan penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa Mesir dan Babylonia. Kedua bangsa tersebut telah memiliki catatan-catatan yang berhubungan dengan masalah aritmatika, aljabar dan geometri pada permulaan 2000 SM. Dalam buku Arithmetica of Diophantus terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Meskipun demikian persamaan yang ada belum terbentuk secara sistematis, tetapi terbentuk secara tidak sengaja melalui penyempurnaan kasus-kasus yang muncul. Karena itu, sebelum masa al-Khawarizmi, aljabar belum merupakan suatu objek yang secara serius dan sistematis dipelajari.

Leonardo Fibonacci salah seorang sarjana matematika abad 13 yang terkemuka. Ia juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa. Dalam perlawatannya ke Timur ia berkesempatan untuk berhubungan dengan sarjana matematika Arab pada masa itu. Ia mempelajari metode berhitung Hindu-Arab. Pada tahun 1202 ia menulis buku dengan judul Liber Abaci. Buku itu berisi aritmetika dan aljabar, mengenalkan sistem angka Hindu-Arab ke Eropah. Ia menguraikan metode menghitung bilangan bulat dan pecahan, menghitung akar pangkat dua, akar pangkat tiga dari suatu bilangan. Robert Recorde (± 1510 – 1558) menulis karya dalam aljabar, geometri dan astronomi. Pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul "THE WHETSTONE OF DE WITTE". Dalam buku itulah pertama kali digunakan lambang "=" untuk kesamaan seperti digunakan sekarang.
Christoff Rudolf (± 1525) menulis buku aljabar dengan judul "DIE COSS" dalam buku itu diperkenalkan lambang menarik akar "√" . Michael Stifel (1486-1567) seorang biarawan Jerman, menerbitkan buku dengan judul "ARITHMETICA INTEGRA" pada tahun 1553 dalam buku itu menguraikan bilangan rasional, irrasional, deret aritmetika, daeret geometri dan koefisien binomial hingga pangkat ke tujuh. Dalam buku itu sudah memakai lambang +, -, dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tak diketahui. Spione del Ferro (1465-1526) seorang guru besar matematika pada universitas Bologna pada tahun 1515 menulis persamaan pangkat tiga x3 + mx = n, tetapi tidak diterbitkannya hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior.

Cardano lewat bukunya, Ars Magna (1545), memberikan suatu metode yang ia sebut regula de modo (atau "Ibunya Aturan") dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel. Aturan ini pada dasarnya merupakan Aturan Cramer, tetapi Cardano tidak sampai pada bentuk final, ia pun tidak mengarah pada mendefinisikan determinan.

Matriks dan Determinan. Perkembangan konsep determinan muncul lebih dulu dari konsep matriks. Ini dikarenakan kedua konsep tersebut terkait dengan penyelesaian sistem persamaan dan penyelesaian persamaan aljabar (polinom) pangkat tinggi. Ide determinan muncul pertama kali di Jepang dan di Eropa pada waktu hampir bersamaan, tetapi Seki Kowa (1642-1708) mempublikasikan lebih dulu di Jepang. Tahun 1683, Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode matriks. Tanpa menggunakan istilah apa pun untuk "determinan", ia memperkenalkan determinan dan memberikan metode umum untuk menghitungnya. Seki menemukan determinan untuk matriks ordo 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 serta menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan pangkat tinggi, bukannya sistem persamaan.

Leibniz dalam suratnya ke l`Hôpital tahun 1683 menjelaskan sistem persamaan:

10 + 11x + 12y = 0

20 + 21x + 22y = 0

30 + 31x + 32y = 0

hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 yang tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz tidak bermaksud menggunakan bilangan, sehingga apa yang ia nyatakan dengan 21 adalah a21. Leibniz menggunakan istilah "resultant" untuk kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut. Ia membuktikan berbagai teori dari "resultant" tersebut, antara lain yang mirip dengan Aturan Cramer, dan juga apa yang kemudian disebut Ekspansi Laplace. Tahun 1730-an, Maclaurin (1698-1746) menulis Treatise of algebra dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku tersebut memuat pembuktian Aturan Cramer untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3. Baru pada tahun 1750, Cramer (1704-1752) lewat buku Introduction to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada matriks n × n (karena itu disebut Aturan Cramer) walaupun tidak ada bukti yang diberikan. Tahun 1764, Bézout (1730-1783) memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde (1735-1796) pada tahun 1771. Tahun 1772, Laplace (1749-1827) mengembangkan aturan yang kini disebut ekspansi Laplace dan ia menamakan determinan dengan sebutan "resultant", seperti sebutan Leibniz. Tahun 1773, Lagrange (1736-1813) menulis tentang determinan dalam studi mekanika. Dalam karya tersebut, untuk pertama kali penggunaan determinan sebagai volum. Istilah "determinant" pertama kali digunakan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) dalam Disquisitiones arithmeticae (1801), tetapi dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Eliminasi Gauss, yang ditelah digunakan di Cina tahun 200 SM, ditemukan pada karyanya tentang studi orbit asteroid Pallas.

Adalah Cauchy (1789–1857) pada tahun 1812, yang pertama kali menggunakan istilah "determinant" dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep "minor" dan "adjoints', serta hasil kali matriks. Dalam karya tahun 1841, ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan determinan. Pada tahun 1850, istilah "matrix" (matriks) muncul dalam tulisan Sylvester (1814–1897). Tahun 1853, Cayley (1821–1895) yang dikenal di sekolah lewat "tabel Cayley" menulis tentang invers matriks. Dan tahun 1858, ia menerbitkan Memoir on the theory of matrices yang merupakan karya pertama yang membahas matriks secara abstrak.

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras diberi nama berdasarkan nama seorang matematikawan Yunani Kuno, Pythagoras, mungkin karena ia yang pertama memberi sebuah bukti (secara geometris) untuk teorema tersebut. Tetapi hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut telah lama dikenal jauh sebelum Pythagoras dan perguruannya.
Bukti dari perguruan Pythagoras berdasarkan gambar geometris berikut ini.

Di Universitas Columbia, terdapat katalog hasil olahan naskah-naskah kuno Mesopotamia oleh G. A. Plimpton yang berisi masalah matematika. Katalog itu bernomor 322 sehingga dikenal sebagai Plimpton 322. Naskah tersebut berisi tabel matematika dari zaman antara 1900 SM hingga 1600 SM. Naskah Plimpton 322 disusun kembali oleh Neugebauer dan Sache tahun 1945, dan ternyata memiliki tabel yang menakjubkan. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras, yaitu a2 – b2 dan c2 = a2 + b2 , di mana bilangan-bilangan a dan b yang bersesuaian merupakan bilangan-bilangan prima relatif dan membentuk tripel Pythagoras bersama harga c tersebut. Dengan cara lain, triple yang bersesuaian dengan tabel Plimpton ini adalah (2uv)2 + (u – v)2 = (u + v)2, yang oleh Anglin disebut Tripel Babilonia.

Sebuah catatan tentang astronomi dan matematika, Chou Pie Suan Ching, yang terjemahan Inggrisnya The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven, sekitar 500 hingga 200 SM menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema Pythagoras. (lihat gambar di atas)
Teks kuno dari India juga telah mengenal tentang Teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras. Di dalam naskah kuno Sulbasutras yang berasal dari tahun 800-600 SM (Baudhayana Sulbasutra) terdapat bahasan Teorema Pythagoras, yang digunakan untuk kepentingan pembangunan altar keagamaan. Sementara dalam Katyayana Sulbasutra (200 SM) terdapat ilustrasi: Tali yang dihubungkan sepanjang diagonal suatu persegipanjang menghasilkan bujursangkar yang luasnya sama dengan jumlah luas kedua bujursangkar pada sisi-sisi persegipanjang. Di dalam Sulvasutras banyak digunakan Tripel Pythagoras, seperti: (5, 12, 13), (12, 16, 20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2, 6, 13/2), dan (15/2, 10, 25/2).
Diperkirakan bangsa Maya dalam menghitung kalender mereka, juga menggunakan suatu variasi dari Teorema Pythagoras.
Ada yang mengatakan rumus Tripel Pythagoras: (m2 –1)/2, m, (m2 +1)/2 berasal dari perguruan Pythagoras. Tetapi sesungguhnya hal ini telah dikenal di Babilonia. Rumus itu sendiri hanya berlaku untuk m bilangan ganjil. Belakangan Plato memberikan rumus yang lebih baik: m2 –1, 2m, m2 +1.

Binomial dan Segitiga Pascal

Walaupun nama Segitiga Pascal berasal dari nama seorang matematikawan Prancis pada abad ke-17, tetapi segitiga yang menunjukkan koefisien-koefisien binomial tersebut telah lama dikenal ratusan tahun sebelum Blaise Pascal (1623-1662). Mungkin secara sendiri sendiri atau independen, matematikawan Cina dan Muslim (Persia) masing-masing menemukan segitiga tersebut. Menurut Clawson dalam sebuah sumber di internet, Chia Hsien atau Jia Xian (k. 1050) telah menggunakan segitiga tersebut untuk menentukan akar kuadrat dan akar kubik suatu bilangan. Demikian pula metode yang digunakan Omar Khayyam dalam menentukan akar suatu bilangan.

Setelah digunakan oleh Chia Hsien, Yang Hui (m. k. 1261-1275) menggunakannya untuk penarikan akar persamaan tingkat tinggi (lebih dari tiga). Para peneliti menyatakan bahwa Yang Hui adalah orang pertama yang menyajikan susunan segitiga Pascal. Matematikawan Zhu Shijie atau Chu Shih Chieh (m.k.1280-1303) sekali lagi menyuguhkan susunan tersebut tahun 1303. Dalam bukunya, Zhu Shijie mengatakan bahwa segitiga binomial tersebut telah merupakan penemuan kuno pada jamanAsal Usul Aljabar

Deskripsi tentang segitiga Pascal, mungkin yang paling tua berasal dari India. Sebuah tulisan Sanskrit yang disebut Meru Prastara yang mungkin berasal dari abad ke-3 atau 4 telah memberi deskripsi tentang segitiga Pascal dengan sangat jelas. Ini kita ketahui dari seorang komentatornya, Halayudha (k. 975). Deskripsi umum Segitiga Pascal dari al-Karaji terdapat dalam komentatornya, yaitu al-Samawal. Segitiga binomial tersebut dikenal lewat karya Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique pada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat yang berkenaan dengan segitiga binomial tersebut. Pascal termasuk matematikawan brillian dalam jamannya. Ia menemukan teorema-teorema penting dalam geometri, menemukan mesin hitung, merintis teori probabilitas, dan lain-lain.

Golden Ratio

Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano , Leonardo Bonacci, atau yang paling sering disebut dengan nama Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapaorang menyebutnya "ahli matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan".

Fibbonacci telah berhasil menguak Golden Ratio ( rasio emas ) yang tersembunyi dibalik sejumlah obyek jagat raya ini. Lewat desain barisan bilangan yang ia ciptakan, ia berhasil menguak kebesaran Dzat yang Maha Mengetahui lewat konstanta illahiyah yang dikenal dengan nama " rasio emas" dalam penciptaan makhluk-makhluknya.

Kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang? Kemudian pandanglah sekali lagi niscaya penglihatannu akan kembali kepadamu dengan tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itun pun dalam keadaan payah (QS. Al. Mulk, 67: 3-4)

 

Dalam barisan Fibbonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,…

Angka Fibbonacci memiliki satu sifat menarik. Jika kamu membagi satu angka dalam barisan tersebut dengan angka sebelumnya, maka akan didapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Bahkan, angka ini cenderung bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Mengapa bisa demikian? Angka ini, selanjutnya, dikenal sebagai " Golden ratio " atau rasio emas".

233/144 = 1,618

377/233 = 1,618

610/377 = 1,618

987/610 = 1,618

1597/987 = 1, 618

2584/1597= 1, 618

Dimanakah rasio emas bersembunyi? Jika antara pusar dan telapak kaki dianggap 1 unit maka tinggi seorang manusia setara dengan 1,618 unit. Beberapa rasio emas lain pada tubuh manusia rata-rata adalah:

 

* Jarak antara ujung jari dan siku dibanding dengan jarak antara penggelangan tangan dan siku.

* Jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala dibanding dengan panjang kepala

* Jarak antara pusar dan ujung atas kepala dibanding dengan jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala

* Jarak antara pusar dan lutut dibanding dengan jarak antara lutut dan telapak kaki.